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双层规划模型的求解方法

来源:标新规划网 2024-06-11 02:22:28

  双层规划模型是一种常用的优化模型,包含两个层次:上层下层来自www.lxmsp.com。上层是一个决策者,下层是一个被决策者。上层的决策会影响下层的决策,下层的决策过来影响上层的决策。在实际应用中,双层规划模型被广泛应用于市场竞争、资源分配、生产计划等领域。本文将绍双层规划模型的求解方法标 新 规 划 网

双层规划模型的求解方法(1)

一、双层规划模型的基本形式

  双层规划模型的一形式如下:

  $$ \begin{aligned} & \max_{x\in X} f(x,y) \\ & \text{s.t. } y\in \arg\max_{y\in Y(x)} g(x,y) \end{aligned} $$

  其中,$x$是上层决策变量,$y$是下层决策变量。$X$$Y(x)$分别是上层下层的可行域。$f(x,y)$是上层的目函数,$g(x,y)$是下层的目函数。

二、双层规划模型的求解方法

双层规划模型的求解方法有很多种,下面绍几种常用的方法标.新.规.划.网

1. KKT条件法

  KKT条件法是一种常用的求解双层规划模型的方法。的基本思想是将双层规划模型转化为单层规划模型,然后利用KKT条件求解。具体步骤如下:

(1)将下层问题的最优解$y^*$代入上层问题的目函数$f(x,y)$中,得到一个仅关于$x$的单层规划模型:

  $$ \max_{x\in X} f(x,y^*) $$

(2)根据KKT条件,得到单层规划模型的一必要条件:

  $$ \nabla f(x,y^*) - \sum_{i=1}^m \lambda_i \nabla h_i(x,y^*) - \sum_{j=1}^n \mu_j \nabla g_j(x,y^*) = 0 $$

$$ g_j(x,y^*) \leq 0,\ \mu_j\geq 0,\ \mu_jg_j(x,y^*)=0,\ j=1,2,\cdots,n $$

其中,$h_i(x,y^*)\leq 0$是上层问题的约束条件,$\lambda_i\geq 0$是拉格朗日乘子,$g_j(x,y^*)\leq 0$是下层问题的约束条件,$\mu_j\geq 0$是拉格朗日乘子。

  (3)将上述一必要条件代入下层问题的目函数$g(x,y)$中,得到一个仅关于$y$的单层规划模型:

  $$ \max_{y\in Y(x)} g(x,y) $$

  (4)根据KKT条件,得到下层问题的一必要条件:

$$ \nabla g(x,y^*) - \sum_{j=1}^n \mu_j^* \nabla h_j(x,y^*) - \sum_{k=1}^p \theta_k \nabla f_k(x,y^*) = 0 $$

  $$ h_i(x,y^*) \leq 0,\ \mu_j^*\geq 0,\ \mu_j^*h_j(x,y^*)=0,\ i=1,2,\cdots,m $$

其中,$f_k(x,y^*)\leq 0$是下层问题的约束条件,$\theta_k\geq 0$是拉格朗日乘子,$h_j(x,y^*)\leq 0$是上层问题的约束条件,$\mu_j^*\geq 0$是拉格朗日乘子标.新.规.划.网

  (5)将上述一必要条件代入上层问题的一必要条件中,得到一个非性规划模型。利用现有的非性规划算法求解该模型,得到上层下层的最优解。

2. 顺序规划法

  顺序规划法是一种将双层规划模型转化为单层规划模型的方法,的基本思想是先求解下层问题,然后将下层问题的最优解代入上层问题,得到一个仅关于$x$的单层规划模型。具体步骤如下:

  (1)固定上层决策变量$x$,求解下层问题:

$$ \max_{y\in Y(x)} g(x,y) $$

  (2)将下层问题的最优解$y^*$代入上层问题的目函数$f(x,y)$中,得到一个仅关于$x$的单层规划模型:

$$ \max_{x\in X} f(x,y^*) $$

  (3)利用现有的单层规划算法求解该模型,得到上层下层的最优解标_新_规_划_网

3. 混合整数规划法

  混合整数规划法是一种将双层规划模型转化为混合整数规划模型的方法,的基本思想是将下层问题的最优解$y^*$作为整数变量,将上层问题下层问题合并为一个混合整数规划模型。具体步骤如下:

  (1)将下层问题的最优解$y^*$作为整数变量,得到一个混合整数规划模型:

  $$ \begin{aligned} & \max_{x\in X,y\in Y} f(x,y) \\ & \text{s.t. } g(x,y^*) \geq \max_{y\in Y(x)} g(x,y) \\ & y^*\in Y(x) \end{aligned} $$

  (2)利用现有的混合整数规划算法求解该模型,得到上层下层的最优解。

双层规划模型的求解方法(2)

三、总结

  双层规划模型是一种常用的优化模型,包含两个层次:上层下层。双层规划模型的求解方法有很多种,如KKT条件法、顺序规划法、混合整数规划法等lxmsp.com同的方法适用于同的问题,在实际应用中需要根据具体情况选择合适的方法。

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